Treballs premiats

Els Fractals

Els Fractals

Detall

Àmbit temàtic: MATEMÀTICA
Edició: Premiats 2015

Centre: Institut Vilatzara, Vilassar De Mar
Autora: Georgina Coll Contreras
Nivell educatiu: 4t d’ESO
Tutor: Manuel Sol Puig

 

Objectius:

Des de fa anys que a l’entrada del meu institut hi ha un triangle se Sierpinski. És un fractal. És una forma atractiva i per això en el projecte de recerca de 4t d’ESO vaig voler investigar sobre aquestes formes i les estructures matemàtiques que hi ha amagades al seu darrera.

 

Metodologia:

Després de buscar informacions sobre els fractals vam decidir centrar la recerca sobre el conjunt de cantor, el triangle de Sierpinski, el floquet de Koch, el triangle de Sierpinsky en 3D i un altre en 3D a base d’ortoedres.
En concret he investigat aquests fractals sobre:

  1. L’evolució de les formes dels fractals seleccionats construïts mitjançant un procés recursiu. Observar què varia i com varia els elements que apareixen als fractals com per exemple, el nombre de costats, la longitud de costats, el nombre de vèrtex, el perímetre, l’àrea, etc.
  2. Obtenir els models matemàtics de les variacions de cada un d’aquests elements en cada fractal seleccionat.

La recera s’ha portat a terme reconstruint cada fractal de forma recursiva. A partir d’aquí s’analitza què varia i com varia. Per fer-ho hem recollit les dades, a continuació hem construït taules de valor i analitzem les dades. Es tracta d’esbrinar la llei de construcció, el patró matemàtic i la seva expressió general en llenguatge simbòlic, el que és el model matemàtic. Finalment aquest model es comprova per assegurar la seva validesa.
Per analitzar el comportament de cada un dels objectes matemàtics estudiats es fa la representació gràfica del model, el que ens permet descobrir el comportament del fractal quan aquest procés de construcció recursiu es realitza en un nombre gran d’iteracions.

 

Conclusions:

Considero que he arribat a obtenir els models matemàtics de tots els elements que intervenen en cada un dels fractals estudiats, així per exemple en el cas del triangle de Sierpinsky hem trobat els models matemàtics de com varia a cada iteració el nombre de segments, la longitud dels costats a cada iteració, la longitud total, el nombre de triangles que es van construint segons l’ordre de les iteracions i l’àrea dels triangles construïts.
Alguns dels models trobats són els que des de la nostra intuïció ja podíem esperar. però també hem trobat alguns sorprenents, com per exemple en el cas del floquet de Koch el perímetre tendeix a un valor infinit a mida que el nombre d’iteracions tendeix a créixer cap a infinit i en canvi l’àrea tendeix a un valor finit.


Compartiu aquest projecte