Treballs premiats

Optimitzant envasos. Possible per a les matemàtiques, impossible per a les empreses?

Optimitzant envasos. Possible per a les matemàtiques, impossible per a les empreses?

Detall

Àmbit temàtic: MATEMÀTICA
Edició: Premiats 2016

Centre: Institut Premià de Mar, Premià de Mar
Autor/s autora/es: Gerard Izquierdo Antó
Nivell educatiu: Segon de batxillerat
Tutors/es: Bernat Ancochea Millet


Compartiu aquest projecte

Objectius

1.- Descobrir i comprendre el complex rerefons matemàtic que fonamenta el que cal fer per a trobar els envasos que, mantenint una capacidat determinada, requereixen una menor despesa en material.
2.- Calcular les dimensions que haurien de tenir diferents envasos de productes reals per tal d’aconseguir un volum donat, amb la mínima àrea.
3.- Trobar mètodes matemàtics més elementals per arribar als mateixos resulats.
4.- Utilitzar el programa GeoGebra per visualitzar millor els problemes i les solucions. Pubicar-ho a Internet.
5.- Esbrinar perquè les empreses d’envasos no acostumen a fabricar els recipients que la matemàtica ens indica com a envasos òptims de menor despesa.
6.- Dissenyar models reals de recipients òptims amb programes informàtics i imprimir-los en 3D com a suport de trobar els anteriors motius.

Metodologia

El primer que vaig fer és entendre i aprendre la teoria matemàtica necessària per poder calcular els mínims de les funcions ‘àrea’ dels recipients que vaig decidir estudiar. Aquesta teoria va consistir en l’estudi de les funcions d’una variable i del significat de derivar-les i en el descobriment de com la derivada, junt amb la derivada segona fonamentaven el procés anomenat d’optimització de funcions.
Com que vaig començar el treball l’estiu passat hi havia conceptes que encara no havia estudiat a primer però no els vaig troba gaire complicats; i a partir d’aquests resultats vaig poder estudiar amb rigor matemàtic els meus primers envasos que volia mínims en despesa de material.
Vaig voler anar més enllà i estudiar envasos en els que la seva àrea quedava en funció de dues variables. En aquest cas, la part teòrica que vaig necessitar ja va ser més complexa però vaig entendre intuïtivament la derivació de superfícies i, respecte càlculs i demostracions, vaig concentrar-me sobretot en la part que necessitava per al meu propòsit de minimitzar funcions.
Com que el càlculs matemàtics eren de força dificultat i tant en el cas d’una variable com en el de dues s’arribaven a resultats molt regulars i previsibles, vaig decidir intentar arribar-hi per mètodes amb menys potència matemàtica: la geometria i les desigualtats. No vaig aconseguir cap demostració geomètrica però sí utilitzant la desigualtat entre la mitjana aritmètica i geomètrica.
Un cop fet això, el meu tutor em va donar la idea d’intentar visualitzar els volums, àrees i funcions amb al GeoGebra i el GeoGebra 3D. I d’aquí, jo vaig pensar de fer impressions 3D.

Conclusions

Les meves principals conclusions són:
1.- Per trobar màxims i mínims de funcions calen mètodes matemàtics complexos però no inabastables per a un estudiant de segon de batxillerat.
2.- Es poden trobar mètodes matemàtics més elementals (com ara la geometria i les desigualtats) que poden ser útils per a trobar camins més senzills per resoldre casos concrets però que poden arribar a ser molt difícils d’utilitzar en altres situacions.
3.- Les empreses es decanten per envasos que no tenen a veure amb els meus resultats matemàtics perquè valoren que els pot aportar més guanys l’ergonomia i estètica de l’envàs que les pèrdues que els pot ocasionar no elaborar l’envàs amb cost mínim de material.