Treballs premiats

The factorial function: Divisibility of binomial coefficients and p-adic convergence of series

The factorial function: Divisibility of binomial coefficients and p-adic convergence of series

Detall

Àmbit temàtic: MATEMÀTICA
Edició: Premiats 2017

Centre: Aula Escuela Europea, Barcelona
Autor/s autora/es: Sílvia Casacuberta Puig
Nivell educatiu: Segon de batxillerat
Tutors/es: Xavier Taixés Ventosa


Compartiu aquest projecte

Objectius

L’objectiu del treball consisteix en estudiar dos problemes oberts relacionats amb la funció factorial en el camp de les matemàtiques de teoria de nombres. En ambdues parts del treball, l’objectiu ha estat fer contribucions als dos problemes oberts i investigar noves àrees i conceptes en matemàtiques. En el cas del problema sobre coeficients binomials, he intentat enfocar el problema des del màxim nombre de perspectives diferents per tal de demostrar un seguit de casos en els quals la conjectura es compleix. En el cas del problema sobre sèries p-àdiques, el primer objectiu ha estat estudiar i entendre l’anàlisi p-àdica, ja que es tracta d’una branca de matemàtiques que conté molts conceptes nous i sorprenents per a un estudiant de Batxillerat. A més, el segon objectiu ha consistit en estudiar la racionalitat i la convergència a nombres enters de diferents tipus de sèries p-àdiques relacionades amb el factorial. Finalment, un objectiu comú en tot el treball ha estat la implementació de la programació en C++ dels diferents conceptes treballats, que a més serveixen per donar evidència de les diferents conjectures plantejades.

Metodologia

Per a ambdós problemes he seguit el següent procediment: primer he dut a terme una recerca bibliogràfica sobre els conceptes i teoremes previs sobre el tema estudiat. A continuació he investigat casos particulars i he elaborat diferents programes amb C++ per tal d’observar com es comporten els casos que analitzo en un gran nombre de situacions. A partir d’aquestes observacions he plantejat conjectures i he intentat demostrar-les amb els coneixements adquirits. A vegades he aconseguit trobar la demostració que explica el que havia observat prèviament i a vegades s’han obert noves línies d’investigació. A partir de la demostració de casos particulars, he intentat generalitzar-los o veure quines implicacions tenen en altres casos relacionats amb el problema. Finalment, totes aquestes demostracions, observacions i programes condueixen cap a pràcticament la solució del problema inicial.

Conclusions

En el problema obert sobre coeficients binomials he trobat un llistat de casos en els quals la conjectura es compleix. Per a les diferents demostracions he emprat diverses tècniques matemàtiques: aritmètica modular, diverses desigualtats relacionades amb primers, conjectures sobre la distància entre dos primers de Cramér, Oppermann i Riemann, equacions diofàntiques, etc. També he trobat quatre fites superiors sobre el mínim nombre de primers necessaris per tal que es compleixi una variació de la conjectura. A més, també he trobat resultats computacionals i he generalitzat la conjectura als multinomis. D’altre banda, en el problema sobre sèries p-àdiques he trobat un anàleg de la funció factorial en els p-àdics emprant la idea de la fórmula de Stirling i he demostrat que la suma de la sèrie corresponent és irracional en els p-àdics. A més, he proposat noves conjectures sobre quan una sèrie p-àdica amb factorials convergeix a un nombre enter; he trobat fórmules recursives i he demostrat certs casos en els quals les sèries p-àdiques considerades no poden convergir a un nombre enter. Finalment, també he descrit els cicles que apareixen quan s’avaluen aquestes sèries mòdul certes potències de primers.