Treballs premiats

Transformacions de Möbius

Transformacions de Möbius

Detall

Àmbit temàtic: MATEMÀTICA
Edició: Premiats 2014

Centre: Institut Montserrat Miró i Vila, Montcada i Reixach
Autor: Èric Guisado Bandrés
Nivell educatiu: 2n Batxillerat
Tutor: Alejandro Martínez Castro

 

 

Objectius:

Els objectius de la recerca són, principalment, els que segueixen:

  1. Exposar el contingut que hem ressenyat a l’estructura.
  2. Demostrar un nombre majoritari de les proposicions que es formulin de manera autònoma.
  3. Constituir una analogia entre el primer bloc i el segon, en la mesura que la majoria dels tòpics tractats siguin semblants.
  4. Relacionar la geometria complexa i l’anàlisi complex amb l’estudi d’algunes superfícies rellevants.
  5. Establir ponts teòrics entre els diferents blocs i apartats de forma que el contingut estigui cohesionat.

Busquem, doncs, relacionar diverses àrees d’estudi de la matemàtica, totes relacionades amb la geometria, però amb una naturalesa ben diferenta.

 

Metodologia:

La metodologia del treball ha estat força constant, ja que durant els mesos previs al començament de la recerca, la nostra tasca va consistir a formar-nos per a aconseguir els coneixements pertinents, així que prèviament ja vam haver de formar una bibliografia d’on extreure informació. de totes maneres, un cop iniciat el treball vam passar a tenir, principalment, tres fases en la nostra metodologia. En primer lloc, vam seleccionar una bibliografia, majoritàriament en llengua anglesa, per falta d’obres sobre aquesta matèria en llengua castellana o catalana. En segon lloc, vam destriar les proposicions que ens interessaven en el treball i que posteriorment hauríem de demostrar. En tercer lloc, vam demostrar les proposicions de dues maneres diferents: d’una banda, podria tractar-se d’una demostració immediata, o més aviat senzilla; o de l’altra, podria ser una demostració que requerís una idea clau. Durant el procés d’obtenir aquesta idea clau vam fer ús d’eines informàtiques com la programació GNU/Octave. En darrer lloc, vam escriure el contingut (proposicions i demostracions) en un document de LaTeX, a mesura que anàvem provant els fets matemàtics.
En definitiva, aquesta recerca no pot tenir un treball de camp com el d’un biòleg o el d’un químic, però en el fons investigar i elaborar demostracions, de vegades amb l’observació de dades, és sense dubte un mètode força científic.

 

Conclusions:

Hem pogut comprovar com hem assolit els nostres objectius en general. En primer lloc, hem provat les proposicions que plantejàvem al treball, i ha estat per nosaltres de gran satisfacció aconseguir demostrar el Teorema de Liouville per a un nombre arbitrari de dimensions. Hem pogut realitzar els dos blocs temàtics del treball, i hem obtingut com volíem dos blocs temàtics amb una certa analogia, que permetria al lector anar deduint els continguts posteriors. En tercer lloc, hem tingut la sensació, que tots els matemàtics diuen tenir, de què entre les diferents branques de la matemàtica no hi ha una separació definida, i que la geometria, l’àlgebra, l’anàlisi i la topologia estan molt unides. En quart lloc, el nostre treball segueix un procés gradual pel que fa a la dificultat, molt semblant al que nosaltres hem anat experimentant durant la confecció d’aquest. En cinquè lloc, ens ha estat de molt ajut per al domini de les eines informàtiques GNU/Octave i LaTeX, i això ens serà de gran utilitat en l’àmbit acadèmic quan vulguem realitzar properes investigacions. Finalment, aquesta investigació ens ha obert una porta al món de la geometria, i en el qual tenim la intenció de continuar investigant, concretament en el camp de les Transformacions de Möbius. Tot i això, el contingut de la nostra recerca és genuïnament introductori, però alhora útil perquè el lector pugui fer el tast de diversos camins per on després pot endinsar-se.


Compartiu aquest projecte